Estado no estacionario con gradientes (coordenadas cartesianas).

La transferencia de calor en estado no estacionario es importante debido al gran número de problemas de calentamiento y enfriamiento que existen en la industria. En los procesos metalúrgicos, nuestra área de estudio, es necesario predecir las velocidades de enfriamiento y calentamiento de metales de diversos tipos de geometrías, con objeto de estimar el tiempo requerido para alcanzar ciertas temperaturas además se deben de conocer las distintas formas de cómo resolver los problemas de fenómenos de conducción en estado no estacionario y la ecuación de difusión.

Para problemas de conducción de calor en más de una dimensión, las soluciones se pueden obtener por medios analíticos, gráficos o numéricos.

El primer caso que se considerara es aquel en el que la resistencia convectiva superficial es despreciable en comparación con la resistencia interna. Esto podría deberse ya sea a un coeficiente de transferencia de calor muy alto en la superficie o bien a la existencia de una resistencia conductiva bastante grande en el objeto para este caso se deducirá y resolverá la ecuación para conducción en estado no estacionario en la dirección x para una placa plana de espesor 2H.

 

Un sólido de ese tipo se extiende al infinito en todas las direcciones excepto en una y por tanto se puede caracterizar mediante una superficie simple.

Solido Semi infinito y solución gráfica

El método analítico se limita sólo para situaciones que comprenden sistemas con una geometría simple y condiciones límites simples, pero cuando las condiciones de frontera son complejas, el enfoque analítico suele complicarse demasiado para que sea práctico y para geometrías complejas es imposible obtener una solución en forma cerrada No obstante, estas soluciones tienen un papel importante en el análisis de transferencia de calor debido a que proporcionan una visión de los problemas ingenieriles complejos que se pueden simplificar utilizando ciertas suposiciones.

Los sistemas de geometrías simples pero que tienen límites isotérmicos y aislados se adaptan bien a soluciones gráficas. Sin embargo, el método gráfico se vuelve difícil de manejar cuando las condiciones de frontera implican transferencia de calor a través de una capa superficial.

Estado no estacionario con gradientes (Coordenadas Cilíndricas)

Del tema anterior se planteó la ecuación de difusión en estado no estacionario en coordenadas cartesianas, ahora se analizará en coordenadas cilíndricas y las condiciones de frontera que conforman al sistema.

Primero se describen:

El laplaciano de acuerdo al sistema de coordenadas 

Se resuelve analizado dos casos de frontera:

A) Pierde calor por convección

B) Se considera aislada

Por separación de variables (a patín), se obtienen 3 ecuaciones espaciales debido a la coordenada de cada sistema y una sola para la coordenada temporal.

En este caso no depende de (z y φ) y es finita, solamente depende de “r”.

La ecuación de Bessel, tiene un raro comportamiento al analizarlo en el origen ya que se “sale” en el origen en “r = 0”.

También tiene un número infinito de soluciones etiquetado con un subíndice  Y

Para resolverla se propone una solución de la forma:

Encontrar la solución es entonces determinar:

Para determinar  se usa la ecuación indicial:

Para determinar los coeficientes a_k, se sustituye la serie dentro de la ecuación y se obtiene: 

a0 Debe ser una constante distinta de cero

Usualmente se selecciona

Donde: Es la función  Г.

Propiedades de la función Г

Función de Bessel de orden P de 1^a especie 

Casos particulares de la función de Bessel de orden orden P 

 Cuando p=0 tenemos:

En general cuando p es un entero no negativo: 

Relaciones de recurrencia de las funciones de Bessel

Las funciones de Bessel de primera clase satisfacen las condiciones de recurrencia siguientes:

Se analizan y describen estas funciones para explicar mejor la solución ya que permiten escribir una función solución de una ecuación diferencial en derivadas parciales con condiciones a la frontera como suma de ellas.

Construcción de la solución completa.   

El valor de las C_m  se determinará a partir de las condiciones de frontera:  

Donde N(βm) es:

Sustituyendo 

Solución general en esta situación

Relación condiciones de frontera/soluciones

Estas soluciones comparten los términos de coordenadas que las cartesianas, la solución temporal  que está presente en TODAS las funciones solución  solo que en vez de ser senos y cosenos, son las funciones gamma y de bessel.

Solución por método gráfico

Estado no estacionario

En todos los sistemas donde se tiene una transferencia de calor, se requiere conocer su perfil de temperaturas, estos perfiles de temperaturas por naturalidad cambian con el tiempo, cuando el calor depende del tiempo, “T” se calcula mediante una ecuación, esta ecuación se llama Ecuación de Difusión.

Ecuacion de Difusion:

Esta ecuación es un caso particular de la ecuación de balance de energía, además existen dos ecuaciones más de balance:

Ecuación de balance de cantidad de movimiento:

Ecuación de balance de masa:

Las tres ecuaciones representan la generalización, al caso de un medio continuo de las ecuaciones e conservación de masa, energía y momento, el medio continuo es una idealización.

Las ecuaciones de balance para un flujo en movimiento son:

Física de la partícula	Medio Continuo
Conservación de la masa	Ecuación de continuidad
Conservación de la energía	Ecuación de difusión
Conservación del momento	Ecuación de Navier-Stokes

Euler y Lagrange

Existen dos posibilidades de describir el movimiento de partículas:

- Euler se fija en una región del espacio (marcaje por zona).

- Lagrange “persigue” a las partículas (marcaje hombre a hombre)

En el enfoque de Euler, la velocidad es un campo vectorial, es decir que se puede asignar a cada punto del espacio un valor de U_x(x,y,x), U_y(x,y,z) y U_z(x,y,z)

X, y, z pueden depender del tiempo: x(t),y(t),z(t):

Para derivar U_x,U_y y U_z con respecto al tiempo se utiliza la regla de la cadena:

La derivada material (Total):

Relacionando la 1ª ley de la termodinámica y la derivada material obtenemos la ecuación de balance:

Es necesario también tener una ecuacion de estado, que relacione las variables termodinámicas: PV= nRT

Y las relaciones termodinámicas, como C_p o C_v:

            

Estas relaciones termodinámicas se usan para casos particulares:

La ecuación para la difusión es:

Para la conductividad infinita (Gradiente Cero) se utilizan las siguientes ecuaciones:

Además se debe conocer el número de Biot:

Finalmente Integramos: