Conducción de calor en una aleta de enfriamiento

La Transferencia de Calor es, una ciencia de la ingeniería y una disciplina práctica, cuyo objetivo es cuantificar los flujos de transporte de calor en procesos naturales y de Ingeniería. Existen diferentes modos de transferencia de calor como la conducción, la radiación y la convección. Al hablar de Superficie Extendida (Aletas), se hace referencia a un sólido que experimenta transferencia de energía por conducción dentro de sus límites, así como transferencia de energía por convección y/o radiación entre sus límites y los alrededores. 

Las Aletas, son superficies utilizadas como un mecanismo que acelera el enfriamiento de una superficie, de forma que combinan el sistema de conducción y convección en un área, ya sea, por ejemplo, una pared. Al añadir una aleta a la pared en cuestión, el calor fluirá no sólo por la pared, sino también por la superficie de la aleta, lo cual provocará la aceleración del enfriamiento. Las aletas son utilizadas principalmente cuando el coeficiente de transferencia de calor es muy bajo, esto es compensado con el área añadida por la superficie extendida. Estas superficies, se usan para mejorar la transferencia de calor, y no se deben usar a menos que se justifique el costo adicional y la complejidad del trabajo requerido para su instalación. El desempeño de las aletas, se juzga sobre la base de la comparación de la transferencia de calor al instalarse las aletas, con la razón de transferencia de calor que se tenía antes de instalar las aletas El presente informe, describe las aletas de transferencia de calor, su definición conceptual, uso y empleo, los materiales de los que se construye, los tipos de aletas, con la inclusión de algunas fórmulas e imágenes, al igual que sus aplicaciones.

Las Aletas, son sólidos que transfieren calor por conducción a lo largo de su geometría y por convección a través de su entorno, son sistemas con conducción convección. Es decir, estas superficies extendidas o aletas, con respecto a la transferencia de calor, se refiere a un sólido que experimenta transferencia de energía por conducción dentro de sus límites, así como transferencia de energía por convección y radiación entre sus límites y los alrededores. La aplicación más frecuente es aquella en la que se usa una superficie extendida de manera específica para aumentar la rapidez de transferencia de calor entre un sólido y un fluido contiguo.

Las aletas se usan cuando el coeficiente de transferencia de calor por convección h es pequeño. Dada la relación que expresa el intercambio de calor por convección de un sólido a un fluido: 𝑄 = ℎ𝐴Δ𝑇 Se deduce que el calor disipado por una superficie aumenta con: 

a) el coeficiente convectivo

b) el área expuesta al fluido

c) la diferencia de temperatura entre la superficie y el fluido. 

Esto se da a partir de ciertas hipótesis se dan a partir de casos reales y su modelo. Donde:

Caso Real:

1. T es función de z y x pero la influencia de z es más importante.
2. Por el extremo de la aleta (área 2BW) y los bordes (área 2BL + 2BL) se pierde una pequeña cantidad de calor.
3. El coeficiente de transmisión de calor es función de la posición

Modelo:

1. T es sólo función z
2. No hay pérdida de calor por el extremo y los bordes
3. La densidad de flujo de calor en la superficie viene dada por q = h (T - Ta), en la que h es constante y T = T(z).

En los casos en que interesa aumentar la disipación desde una superficie (por ejemplo: la carcasa de motores, intercambiadores de calor) se recurre al uso de superficies extendidas (aletas), especialmente si se tiene una pequeña diferencia de temperatura y un bajo coeficiente convectivo.

Donde las condiciones de la frontera se establecen a partir de:

Donde se establecen variables adimensionales, para que no se tenga dependencia con la temperatura, donde se deben tener ciertos valores los cuales terminaran siendo adimensionales.

Donde:

Donde esta expresión es solamente aceptable si las pérdidas de calor en los bordes son despreciables.

Donde las funciones hiperbólicas son:

El flujo de calor y la eficacia se da a partir de:

La eficacia de una aleta se define como:

En términos matemáticos:

Materiales con las que se construyen Normalmente, las aletas están hechas de aluminio, material que tiene una buena conductividad térmica. Se deben tomar en cuenta algunas consideraciones de diseño, como por ejemplo: 

- Perfil óptimo para la disipación de una potencia térmica con el mínimo volumen. 

- Dimensiones óptimas para un determinado volumen de aleta. 

- Espaciado óptimo entre aletas. 

- Elección del material. 

- Contacto térmico con la base. Tipos de Aletas Las formas que adoptan las aletas son muy variadas y dependen en gran medida de la morfología del sólido al que son adicionales y de la aplicación concreta. 

- La aleta se denominan “aguja” cuando la superficie extendida tiene forma cónica o cilíndrica. 

- La “aleta longitudinal” se aplica a superficies adicionales unidas a paredes planas o cilíndricas. 

- Las “aletas radiales” van unidas coaxialmente a superficies cilíndricas. Así es como se conocen en forma general cuatro tipos de aletas: 

1. Aletas rectangulares. 

2. Aletas rectangulares de perfil triangular. 

3. Aletas circulares o radiales. 

4. Aletas de espina.

Las paredes compuestas y los usos en tu vida.

En la sociedad moderna se utilizan herramientas de todo tipo, la diversidad tecnológica que ha traído este siglo ha sido avasallante, la generación de este siglo conoce tan bien a los dispositivos móviles que le sería muy difícil vivir sin estos, algo que nuestros padres o abuelos no entienden, puesto que para ellos la invención de computadoras de escritorio, televisión y hornos microondas ya era algo extraordinario. Sin embargo, algo que todos compartimos es el uso de las paredes compuestas, estas son una forma de poder aislar el calor y se utilizan para explicar las aplicaciones de la ecuación de Fourier con un régimen estacionario. Las paredes compuestas las podemos encontrar en las paredes mismas de una casa, en termos para nuestro café y dentro de los circuitos para los dispositivos móviles.

Paredes compuestas rectangulares.

Imagina una casa, ahora piensa ¿Por qué es común entre tus abuelos salir para “tomar” un poco de sol en el patio? O bien, ¿Por qué en los días muy calurosos tú estás fresco dentro de tu casa?, la respuesta más obvia es porque estás dentro de tu casa, claro, pero ¿Qué hace tu casa para mantener el calor afuera y dentro de ella no aumente la temperatura? Es simple, la transferencia de calor depende del material del que está hecho, la longitud por la que viaja y la temperatura, este fenómeno está descrito por la ley de Fourier:

En la ecuación (1) describiremos al flux de calor como q, la constante k se refiere a la conductividad térmica del material, el elemento diferencial dT/dx es conocido como el gradiente de temperatura, es el cambio de temperatura con respecto a la dirección por donde viaja el calor.

Una imagen ayudará a procesar mejor esta información, checa la ilustración 2. Este tipo de representación se llama perfil de temperatura y no es más que la representación gráfica del cambio de temperatura con respecto a la posición.

La flecha roja indica el viaje del calor, el cual debe ser constante según el balance de la energía, claro, como estamos hablando de energía tenemos que hablar de la conservación de esta, por eso la energía que entra es igual a la energía que sale, esto está descrito en la ecuación (2).

Sin embargo, la temperatura va a disminuir por el viaje del calor a través del material. Aseguramos que T1>T2 a lo largo de un eje, la diferencia de posición la dicta el grosor de nuestro medio.

Entonces vaciamos la información que tenemos en la ecuación de Fourier para obtener la ecuación 3 e integramos por variable separables definiendo los límites como T1,T2 para T y x1, x2 para x, con esto obtenemos la ecuación (4) 

¡Esperen! Las paredes de una casa no suelen ser una sola placa de un material, lo que tenemos son varias capas. Algo así como en la ilustración 3

Bueno, seguimos hablando de energía por lo tanto se va a conservar, pero a través de varias placas de diferentes materiales cada vez que se atraviese una placa la temperatura disminuirá, claro como son de diferentes grosores tendremos que considerar que los valores de ∆x serán diferentes.

Al vaciar la nueva información a la ecuación de Fourier encontramos una analogía entre las ecuaciones que describirán las siguientes placas, solo cambiaré el índice de k para los materiales y asignaré la respectiva temperatura a la respectiva posición (ejemplo T3 para x3).

Ahora conocemos el transporte de calor por conducción entre las placas del material, pero no hemos considerado la convección de calor que hay dentro y fuera de la casa. Vamos a plantear las ecuaciones para esta convección.

En estas ecuaciones Ta y Tc son las temperaturas del ambiente y de la casa respectivamente, h0 y h1 son constantes propias del medio de convección.

Ahora sólo debemos sumar todas las ecuaciones que tenemos, nos avienta la ecuación (9).

Despejamos para calcular el flux de calor, ecuación (10).

Por último, el detalle, aquella cosa que bien puede arruinar cualquier calculo y es que las placas se pegan con adhesivos, estos no permiten una superficie uniforme y generar burbujas de aire que hay que considerar, esta es una cierta resistencia y depende de qué material se pegó con cierto adhesivo, a veces existen tablas, a veces hay que hacer la medición, pero algo es seguro, debe incluirse en el cálculo, supondremos una R para calcular la resistencia.

Esta ecuación final dice muchas cosas, tanto los valores de h como de k son importantes, la distancia lo es y las temperaturas inicial y final son dictadas por el comportamiento del flux, al haber un grosor mayor, una R mayor veremos que el ∆T es mayor, lo cual es muy bueno si buscas mantenerte fresco en tu casa.

Paredes compuestas circulares

Para saber cómo funcionan las cosas es importante saber cómo se modelan, en la ciencia los modelos permiten explicar el comportamiento de los fenómenos. A continuación, vamos a modelar cómo funciona un termo en el que guardas tus bebidas calientes.

Observando un termo notamos la diferencia fundamental entre este y la pared de una casa, el termo es un cilindro, esto puede parecer dolorosamente obvio, pero vamos a estudiar el movimiento del calor a través de la dirección en la que se extiende el radio de la circunferencia que da forma al termo, al hablar de círculos tenemos que hacerlo en función del radio, al final es análogo el modelado porque es el mismo principio, analizar el flux de calor, pero no obtendremos las mismas ecuaciones.

Primero vamos a guiarnos de la ilustración 4, ahí observaremos un cilindro con una capa de aislante que evitará que se escape el calor, también describe los radios que tenemos y que el cilindro es de una cierta longitud.

Aplicado un balance a la lámina de volumen 2πrL ∆r, se obtiene, para la conducción del calor en la primera región llegaremos a la ecuación (12) y para la ecuación de Fourier (13)

Ahora, asignando un r1 a un T1, un r2 a un T2 y así sucesivamente vamos a integrar la ecuación diferencia por variables separables. (14)

La ecuación obtenida será la siguiente (15).

Como la ecuación que relaciona los radios 2 y 3 con las temperaturas 2 y 3 es homologa con la ecuación (15) tan sólo la reescribiré en esos términos.

En este caso también tenemos convección del ambiente y ahora por el líquido. La del líquido debe considerar el cociente entre r1 y r3 para ser análogo con el caso rectangular. 

Al sumar todas las ecuaciones obtendremos una ecuación similar al caso rectangular, sin embargo, se multiplicará por la superficie del cilindro (2πL)

Como se ve en la ilustración 5, el perfil de temperatura no es una línea recta como en el caso rectangular, sino que tomar la forma de logaritmo llegando a curvarse en los intervalos de los radios pero siempre disminuyendo.

Y ahora tenemos modelado lo que pasa en un termo, la temperatura del líquido siempre tiene que ser mayor a la que está en el ambiente, si no ¿A qué te sabría tu café o té?

A continuación, citaré un balance con las semejanzas y diferencias entre los casos.

Semejanzas:

•       En ambos casos se trata de un fenómeno de conducción a través de capas sucesivas.

•       Se resuelve efectuando un balance de energía sin fuentes.

Diferencias:

•       En el caso del cilindro, la superficie varía con la distancia. En el caso rectangular, no.

•       Cada caso lleva a una ecuación diferencial diferente.

•       En uno la resistencia térmica es constante.

•       En el otro varía con el inverso de la distancia.

•       La integral de 1/r es ln(r)

Mesografía.

·       -   http://www.rua.unam.mx/objeto/10955/paredes-compuestas 15/02/2017 05:30 pm

Cálculo de los coeficientes de transporte. (conductividad y viscosidad)

En este tema se hablará respecto a los coeficientes de transporte, es decir que factores afectan el transporte de energía principalmente, tales como el estado de agregación, la estructura de la malla, temperatura, etc.

Una de los principales razones por la que se debe estudiar y calcular estos coeficientes es que varían de un material a otro, inclusive varían de distintas maneras en el mismo material, en función de la temperatura.

Un ejemplo de estos coeficiente es “K”, la conductividad térmica, que varía con el estado de agregación, los sólidos tienen mejor conductividad térmíca, en especial los metales puros(Ag, Au, Cu), seguidos por las aleaciones, y otros sólidos como: hielo, óxidos, plásticos, no metales sólidos. Se reduce la conductividad en los aislantes, líquidos como: mercurio, agua, óleos y finalmente los que tienen la menor conductividad térmica son los gases. Otra de las variables que afectan la conductividad térmica (pueden disminuirla o aumentarla, dependiendo de la sustancia), por ejemplo en algunos metales con el aumento en la temperatura esta conductividad disminuye (Au, Ag, Cu, Al) sin embargo esto no se presenta en todos los metales, en otros se aumenta (Pt) al igual que otros materiales no metales y cerámicos.

Esta conductividad térmica y la viscosidad son características de las sustancias que son muy similares entre sí, si observamos gráficas de temperatura vs viscosidad y temperatura vs conductividad térmica tienen comportamientos similares. Esto es por la facilidad o dificultad que tienen las partículas para moverse en los materiales y la energía que transmiten con estos movimientos.

Este movimiento de partículas esta directamente relacionada con el estado de agregación y se deben usar métodos diferentes para calcular los coeficientes de difusión en cada estado de agregación.

Usando modelos tales como la teoría cinética de los gases en el que podemos usar el modelo más sencillo de esferas rígidas o la forma de de potencial conveniente de Lennard-jones (6-12) y también la teoría del estado sólido, en la que a partir de una malla de átomos rodeados de electrones que también podemos modelar como un gas de esferas rígidas y tomando en cuenta la vibración de la malla. De esta forma tendremos 2 componente que sumadas nos darán el valor de K.

Las Kf y Ke producto de la teoría del estado sólido dependen del tipo de material, en los que los metales puros tendrán una Kf despreciable, a diferencia de los semiconductores y no conductores el Kf es significativa para no despreciarla y en las aleaciones y no conductores el valor Kf se vuelve importante.

Esta Kf está directamente relacionado con la malla si es regular o no, esta malla regular puede darnos mejores propiedades que algunos metales, por ejemplo el diamante.

En los nanomateriales hay otros factores que hay que tomar en cuenta, como  el efecto de frontera sobre el movimiento de electrones. También la conductividad en X y Y serán diferentes y se tendrán valores de Kx y Ky.

Para el cálculo de Kx y Ky se utiliza:

A partir de estos modelos se deducen las formulas para calcular las variaciones de conductividad y viscosidad. Dependiendo del modelo usado será la precisión que tengan los valores obtenidos. Partiendo del modelo de esferas rígidas podemos refinar el modelo para obtener un valor más preciso.

Todo esto tiene la finalidad de obtener un valor de conductividad para aprovechar las propiedades de cada material y así fabricar componentes más eficientes o más baratos, por ejemplo en el campo de los superconductores se pueden aprovechar para electroimanes, resonancia magnética usada en hospitales, separación magnética, y levitación magnética lo cual sería usado para transporte super eficiente.

Donde: 

En el caso de un gas, las ecuaciones se escriben en parametros de potenciales de Lennard-Jonnes.

En el caso de la conductividad térmica esta relacionada con la conductividad electrica a traves de la ley de Wiedemann-Franz.

Donde: 

L = 22-29 x10-9 Volts2 K 2 

k = Conductividad térmica

L = Número de Lorenz

σ = Conductividad eléctrica