Las paredes compuestas y los usos en tu vida.

En la sociedad moderna se utilizan herramientas de todo tipo, la diversidad tecnológica que ha traído este siglo ha sido avasallante, la generación de este siglo conoce tan bien a los dispositivos móviles que le sería muy difícil vivir sin estos, algo que nuestros padres o abuelos no entienden, puesto que para ellos la invención de computadoras de escritorio, televisión y hornos microondas ya era algo extraordinario. Sin embargo, algo que todos compartimos es el uso de las paredes compuestas, estas son una forma de poder aislar el calor y se utilizan para explicar las aplicaciones de la ecuación de Fourier con un régimen estacionario. Las paredes compuestas las podemos encontrar en las paredes mismas de una casa, en termos para nuestro café y dentro de los circuitos para los dispositivos móviles.

Paredes compuestas rectangulares.

Imagina una casa, ahora piensa ¿Por qué es común entre tus abuelos salir para “tomar” un poco de sol en el patio? O bien, ¿Por qué en los días muy calurosos tú estás fresco dentro de tu casa?, la respuesta más obvia es porque estás dentro de tu casa, claro, pero ¿Qué hace tu casa para mantener el calor afuera y dentro de ella no aumente la temperatura? Es simple, la transferencia de calor depende del material del que está hecho, la longitud por la que viaja y la temperatura, este fenómeno está descrito por la ley de Fourier:

En la ecuación (1) describiremos al flux de calor como q, la constante k se refiere a la conductividad térmica del material, el elemento diferencial dT/dx es conocido como el gradiente de temperatura, es el cambio de temperatura con respecto a la dirección por donde viaja el calor.

Una imagen ayudará a procesar mejor esta información, checa la ilustración 2. Este tipo de representación se llama perfil de temperatura y no es más que la representación gráfica del cambio de temperatura con respecto a la posición.

La flecha roja indica el viaje del calor, el cual debe ser constante según el balance de la energía, claro, como estamos hablando de energía tenemos que hablar de la conservación de esta, por eso la energía que entra es igual a la energía que sale, esto está descrito en la ecuación (2).

Sin embargo, la temperatura va a disminuir por el viaje del calor a través del material. Aseguramos que T1>T2 a lo largo de un eje, la diferencia de posición la dicta el grosor de nuestro medio.

Entonces vaciamos la información que tenemos en la ecuación de Fourier para obtener la ecuación 3 e integramos por variable separables definiendo los límites como T1,T2 para T y x1, x2 para x, con esto obtenemos la ecuación (4) 

¡Esperen! Las paredes de una casa no suelen ser una sola placa de un material, lo que tenemos son varias capas. Algo así como en la ilustración 3

Bueno, seguimos hablando de energía por lo tanto se va a conservar, pero a través de varias placas de diferentes materiales cada vez que se atraviese una placa la temperatura disminuirá, claro como son de diferentes grosores tendremos que considerar que los valores de ∆x serán diferentes.

Al vaciar la nueva información a la ecuación de Fourier encontramos una analogía entre las ecuaciones que describirán las siguientes placas, solo cambiaré el índice de k para los materiales y asignaré la respectiva temperatura a la respectiva posición (ejemplo T3 para x3).

Ahora conocemos el transporte de calor por conducción entre las placas del material, pero no hemos considerado la convección de calor que hay dentro y fuera de la casa. Vamos a plantear las ecuaciones para esta convección.

En estas ecuaciones Ta y Tc son las temperaturas del ambiente y de la casa respectivamente, h0 y h1 son constantes propias del medio de convección.

Ahora sólo debemos sumar todas las ecuaciones que tenemos, nos avienta la ecuación (9).

Despejamos para calcular el flux de calor, ecuación (10).

Por último, el detalle, aquella cosa que bien puede arruinar cualquier calculo y es que las placas se pegan con adhesivos, estos no permiten una superficie uniforme y generar burbujas de aire que hay que considerar, esta es una cierta resistencia y depende de qué material se pegó con cierto adhesivo, a veces existen tablas, a veces hay que hacer la medición, pero algo es seguro, debe incluirse en el cálculo, supondremos una R para calcular la resistencia.

Esta ecuación final dice muchas cosas, tanto los valores de h como de k son importantes, la distancia lo es y las temperaturas inicial y final son dictadas por el comportamiento del flux, al haber un grosor mayor, una R mayor veremos que el ∆T es mayor, lo cual es muy bueno si buscas mantenerte fresco en tu casa.

Paredes compuestas circulares

Para saber cómo funcionan las cosas es importante saber cómo se modelan, en la ciencia los modelos permiten explicar el comportamiento de los fenómenos. A continuación, vamos a modelar cómo funciona un termo en el que guardas tus bebidas calientes.

Observando un termo notamos la diferencia fundamental entre este y la pared de una casa, el termo es un cilindro, esto puede parecer dolorosamente obvio, pero vamos a estudiar el movimiento del calor a través de la dirección en la que se extiende el radio de la circunferencia que da forma al termo, al hablar de círculos tenemos que hacerlo en función del radio, al final es análogo el modelado porque es el mismo principio, analizar el flux de calor, pero no obtendremos las mismas ecuaciones.

Primero vamos a guiarnos de la ilustración 4, ahí observaremos un cilindro con una capa de aislante que evitará que se escape el calor, también describe los radios que tenemos y que el cilindro es de una cierta longitud.

Aplicado un balance a la lámina de volumen 2πrL ∆r, se obtiene, para la conducción del calor en la primera región llegaremos a la ecuación (12) y para la ecuación de Fourier (13)

Ahora, asignando un r1 a un T1, un r2 a un T2 y así sucesivamente vamos a integrar la ecuación diferencia por variables separables. (14)

La ecuación obtenida será la siguiente (15).

Como la ecuación que relaciona los radios 2 y 3 con las temperaturas 2 y 3 es homologa con la ecuación (15) tan sólo la reescribiré en esos términos.

En este caso también tenemos convección del ambiente y ahora por el líquido. La del líquido debe considerar el cociente entre r1 y r3 para ser análogo con el caso rectangular. 

Al sumar todas las ecuaciones obtendremos una ecuación similar al caso rectangular, sin embargo, se multiplicará por la superficie del cilindro (2πL)

Como se ve en la ilustración 5, el perfil de temperatura no es una línea recta como en el caso rectangular, sino que tomar la forma de logaritmo llegando a curvarse en los intervalos de los radios pero siempre disminuyendo.

Y ahora tenemos modelado lo que pasa en un termo, la temperatura del líquido siempre tiene que ser mayor a la que está en el ambiente, si no ¿A qué te sabría tu café o té?

A continuación, citaré un balance con las semejanzas y diferencias entre los casos.

Semejanzas:

•       En ambos casos se trata de un fenómeno de conducción a través de capas sucesivas.

•       Se resuelve efectuando un balance de energía sin fuentes.

Diferencias:

•       En el caso del cilindro, la superficie varía con la distancia. En el caso rectangular, no.

•       Cada caso lleva a una ecuación diferencial diferente.

•       En uno la resistencia térmica es constante.

•       En el otro varía con el inverso de la distancia.

•       La integral de 1/r es ln(r)

Mesografía.

·       -   http://www.rua.unam.mx/objeto/10955/paredes-compuestas 15/02/2017 05:30 pm