Estado no estacionario con gradientes (Coordenadas Cilíndricas)

Del tema anterior se planteó la ecuación de difusión en estado no estacionario en coordenadas cartesianas, ahora se analizará en coordenadas cilíndricas y las condiciones de frontera que conforman al sistema.

Primero se describen:

El laplaciano de acuerdo al sistema de coordenadas 

Se resuelve analizado dos casos de frontera:

A) Pierde calor por convección

B) Se considera aislada

Por separación de variables (a patín), se obtienen 3 ecuaciones espaciales debido a la coordenada de cada sistema y una sola para la coordenada temporal.

En este caso no depende de (z y φ) y es finita, solamente depende de “r”.

La ecuación de Bessel, tiene un raro comportamiento al analizarlo en el origen ya que se “sale” en el origen en “r = 0”.

También tiene un número infinito de soluciones etiquetado con un subíndice  Y

Para resolverla se propone una solución de la forma:

Encontrar la solución es entonces determinar:

Para determinar  se usa la ecuación indicial:

Para determinar los coeficientes a_k, se sustituye la serie dentro de la ecuación y se obtiene: 

a0 Debe ser una constante distinta de cero

Usualmente se selecciona

Donde: Es la función  Г.

Propiedades de la función Г

Función de Bessel de orden P de 1^a especie 

Casos particulares de la función de Bessel de orden orden P 

 Cuando p=0 tenemos:

En general cuando p es un entero no negativo: 

Relaciones de recurrencia de las funciones de Bessel

Las funciones de Bessel de primera clase satisfacen las condiciones de recurrencia siguientes:

Se analizan y describen estas funciones para explicar mejor la solución ya que permiten escribir una función solución de una ecuación diferencial en derivadas parciales con condiciones a la frontera como suma de ellas.

Construcción de la solución completa.   

El valor de las C_m  se determinará a partir de las condiciones de frontera:  

Donde N(βm) es:

Sustituyendo 

Solución general en esta situación

Relación condiciones de frontera/soluciones

Estas soluciones comparten los términos de coordenadas que las cartesianas, la solución temporal  que está presente en TODAS las funciones solución  solo que en vez de ser senos y cosenos, son las funciones gamma y de bessel.

Solución por método gráfico